一、整除的概念

　　如果一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù)b，(b≠0)得到一個整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a。

　　二、數(shù)的整除特征

　　1. 能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

　　2. 能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

　　3. 能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

　　4. 能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

　　5. 能被7整除：

　�、倌┤�位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

　�、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

　　6. 能被11整除：

　�、倌┤�位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

　�、谄鏀�(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

　�、壑鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

　　7. 能被13整除：

　�、倌┤�位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

　�、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

　　三、舉例驗(yàn)證

　　例如：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除?

　　解：這個數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9+7+5+3+1=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8+6+4+2=20。因?yàn)?5-20=5，5不能被11整除，所以123456789不能被11整除。

　　例如：判斷1059282是否是7的倍數(shù)?

　　解：把1059282分為1059和282兩個數(shù)。因?yàn)?059-282=777，777是7的倍數(shù)，所以1059282也是7的倍數(shù)。

　　例如：判斷3782651能否被13整除?

　　解：把3782651分為3782和651兩個數(shù)。因?yàn)?782-651=3131。再把3131分為3和131兩個數(shù)，因?yàn)?31-3=128，而128不能被13整除，所以3782651不能被13整除。

　　四、實(shí)戰(zhàn)演練

　　例1.下列四個數(shù)都是六位數(shù)，X是比10小的自然數(shù)，Y是零，一定能同時被2、3、5整除的數(shù)是多少?

　　A.XYXYXY B.XXXYXX C.XYYXYY D.XYYXYX

　　【答案】A。解析：該數(shù)“一定能同時被2、3、5整除”，則根據(jù)2、3、5的整除特性可知，該數(shù)的尾數(shù)只能為0，且各位數(shù)字之和能被3整除。根據(jù)題意，Y 是零且X和Y不能同時為零，故Y只能為尾數(shù)，排除B、D，根據(jù)3的整除特性，A項(xiàng)各位數(shù)字之和為3X，一定能被3整除，而C項(xiàng)各位數(shù)字之和為2X，不一定能被3整除，綜上，選擇A。

　　例2.六位數(shù)X2010Y能被88整除，則X、Y的取值分別為多少?

　　A.X=9，Y=4 B.X=7，Y=4 C.X=9，Y=8 D.X=8，Y=4

　　【答案】B。解析：能被88整除的數(shù)，即同時能夠被8和11整除，根據(jù)8的整除特性，即數(shù)的后三位能夠被8整除，所以10Y能被8整除，解得Y=4;根據(jù) 11的整除特性，奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能被11整除，即2+1+Y-(0+0+X)=7-X，結(jié)合選項(xiàng)當(dāng)X=7時，差為0，能夠被11整除，因此可得X=7，Y=4，選擇B。

　　例3.有一個自然數(shù)“X”，除以4的余數(shù)是3，除以5的余數(shù)是4，問“X”除以20的余數(shù)是多少?

　　A.4 B.5 C.12 D.19

　　【答案】D。解析：這個數(shù)加上1后可以整除4、5，因此也可以整除20。那么原數(shù)除以20余數(shù)是19

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