數(shù)量關(guān)系之?dāng)?shù)學(xué)運算模塊一直是行測考試中的難點所在,諸多考生談之色變。實際上,多數(shù)的數(shù)學(xué)運算題目,幾乎均有不少于兩種以上的解題思路或方法,我們稱這類試題為“一題多解”題。其目的重在考查考生對知識點掌握的熟練程度,同時兼顧不同解題習(xí)慣的考生。
一題的多種解法中,有的思路抽象但求解過程簡潔,有的思路簡單但計算量較大,有的則中規(guī)中矩;多數(shù)方法之間存在相關(guān)性,源自對知識點不同側(cè)面的理解與運用;建議考生備考時,熟記基本概念與公式,學(xué)會轉(zhuǎn)化數(shù)量之間的關(guān)系,盡可能多地將同一知識點的不同解題思路與方法進行分析與比較,以便在考場的緊張狀態(tài)中迅速做出合理的判斷。
一、概率問題的基礎(chǔ)知識
概率問題常用公式及思路有:1.單獨概率:滿足條件的情況數(shù)÷總的情況數(shù);2.總體概率:A的概率=1-非A的概率;3.分類概率:滿足條件的各種情況概率之和;4.分步概率:滿足條件的每個步驟概率之積;5.二項分布:Cnm×Pn×(1-P)m-n;6.抽象推理:即對題目要求的結(jié)果進行分析及轉(zhuǎn)換,利用抽象思維求解。這些公式與思路之間有時可相互轉(zhuǎn)換,也就是說同一道概率問題可以采用不同的解法解答。
二、真題舉例
真題一:2015山西省考
65. 在一次產(chǎn)品質(zhì)量抽查中,某批次產(chǎn)品被抽出10件樣品進行檢驗,其中恰有兩件不合格品,如果對這10件樣品逐件進行檢驗,則這兩件不合格品恰好在第五次被全部檢出的概率是( )。
A. 4/45 B. 2/45 C. 1/45 D. 1/90
【解析】概率問題!扒『迷诘谖宕伪蝗繖z出”意思是前四次有一個被檢出,第五次恰好檢出第二個;本題有多種解法,逐一列舉如下:
解法一:單獨概率。10個樣品中隨意挑取5的情況數(shù)是P510,前四次有一個被檢出,第五次恰好檢出第二個的情況數(shù)為C12×C38×P44×C11;由單獨概率公式可得,所求為C12×C38×P44×C11P510=445。故選A。
解法二:分類概率。前四次有一個被檢出,可分為以下幾種情況:(1)第一次被檢出,概率為210×89×78×67×16=145,(2)第二次被檢出,概率為810×29×78×67×16=145,(3)第三次被檢出,概率為810×79×28×67×16=145,(4)第四次被檢出,概率為810×79×68×27×16=145;因此,所求為4×145=445。故選A。
解法三:抽象推理。借助單獨概率公式,利用插空法,對試題中的數(shù)量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化;“前四次有一個被檢出”可理解為“前四次中選取一個空位放置其中不合格的那一個”,即C14,10個空位中選取兩個空位放置不合格的兩個,即C210;因此,所求為C14C210=445。故選A。
分析以上三種解法,可以看出:第二種解法最容易理解,但計算量最大;第三種解法最簡單,但相對抽象,需要對題干的數(shù)量關(guān)系進行正確的分析與轉(zhuǎn)換。因此,建議考生著重掌握第一種解法,即單獨概率的解題思路與方法。
真題二:2015河南農(nóng)信社
62. 假如盒子里有10個蘋果,其中一個是壞的,現(xiàn)在有10個人分別從盒子里一次取出一個蘋果(取出的不再放回),那么第6人正好取到壞蘋果的概率為( )。
A. 1/10 B. 9/10 C. 1/9 D. 都不正確
【解析】概率問題?捎脙煞N解法求解:
解法一:單獨概率!暗6人正好取到壞蘋果”意思是:前5個人取的是好的,即從9個中取了5個,有P59,總的情況數(shù)為P610;因此,所求為P59P610=110。故選A。
解法二:抽象推理。10個蘋果,其中一個是壞的,那么每個人都有可能拿到壞蘋果,即每個人拿到壞蘋果的概率是相等的,均為110;因此,第6人正好取到壞蘋果的概率為110。故選A。
(二)賦值問題
一、賦值問題的基礎(chǔ)知識
賦值問題,即利用賦值法求解的題,即將題目的某些量賦以特定的數(shù)值,通過明確的數(shù)值來解題,會使題目更加直觀,易于解答。常見于工程問題、路程問題、濃度問題和利潤問題中。使用原則如下:
1. 賦值為比例的數(shù)據(jù):若題中僅有比列關(guān)系,無具體單位(或有,但單位是唯一的),可直接賦值為比例數(shù)據(jù);如:男女人數(shù)比為3:2,可賦值男生有3人,女生有2人,共有5人;
2. 賦值為最小公倍數(shù):常見于工程問題中;如:一項工作,甲乙獨做分別需要3天和2天,可賦值總量為6,則甲效率為2,乙效率為3,合作效率為5。
二、真題舉例
真題一:2015山東省考
61. 商場里某商品成本上漲了20%,售價只上漲了10%,毛利率(利潤/進貨價)比以前的下降了10個百分點。問原來的毛利率是多少?( )
A. 10% B. 20% C. 30% D. 40%
【解析】利潤問題?捎脙煞N方法求解:
解法一:列方程求解。假設(shè)原來的成本為x元,售價為y元,那么,新的成本為1.2x,新的售價為1.1y,則有:yx-1-10%=1.1y1.2x-1,解得yx=1.2;因此,原來的毛利率是1.2-1=20%。故選B。
解法二:賦值法求解。假設(shè)原來的成本為1,售價為x,則有:1.1x1.2-1=x1-1-10%,解得x=1.2;因此,原來的毛利率是1.21-1=20%。故選B。
真題二:2015陜西省考
121.現(xiàn)有若干支鉛筆,若只平均分給一年級一班的女生,每名女生可以得到15支,若只平均分給該班的男生,每名男生可以得到10支,F(xiàn)將這些鉛筆平均分給該班的所有同學(xué),則每名同學(xué)可以得到( )支鉛筆。
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
E. 8 F. 9 G. 10 H. 11
【解析】求平均數(shù)?捎脙煞N方法求解:
解法一:列方程求解。設(shè)男生有x人,女生有y人,則有:10x=15y,解得y=23x;因此,若均分給該班所有同學(xué),則每名同學(xué)可以得到10x÷(x+y)=10x÷(x+23x)=6支鉛筆。故選C。
解法二:賦值法求解。設(shè)鉛筆共有30支,則女生有30÷15=2人,男生有30÷10=3人;因此,若均分給該班所有同學(xué),則每名同學(xué)可以得到30÷(2+3)=6支鉛筆。故選C。
真題三:2014青海省考
62. 某項工程若由甲、乙兩隊合作需105天完成,甲、丙兩隊合作需60天,丙、丁兩隊合作需70天,甲、丁兩隊合作需84天。問這四個工程隊的工作效率由低到高的順序是什么?( )
A. 乙丁甲丙 B. 乙甲丙丁 C. 丁乙丙甲 D. 乙丁丙甲
【解析】工程問題?捎脙煞N方法求解:
解法一:工程問題的“比例法”。甲乙合作105天,甲丙合作60天,說明乙<丙,ABCD均符合;甲乙合作105天,甲丁合作84天,說明乙<丁,排除C;甲丙合作60天,甲丁合作84天,說明丁<丙,排除B;丙丁合作70天,甲丁合作84天,說明甲<丙,排除D。故選A。
解法二:賦值法求解。設(shè)工作總量為時間的最小公倍數(shù)420,則甲乙效率和為4,甲丙效率和為7,丙丁效率和為6,甲丁效率和為5,即各自效率分別為甲3,乙1,丙4,丁2。因此,四隊的效率由低到高的順序是乙丁甲丙。故選A。
(三)方程問題
一、方程問題的基礎(chǔ)知識
一些基本的方程問題,既可以設(shè)未知數(shù)求解,也可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題、盈虧問題等來求解。涉及到的相關(guān)公式如下:
1. 雞兔同籠:
雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù));
兔數(shù)=(總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù));
2. 盈虧問題:
(盈+虧)÷兩次分配量的差=參加分配的對象數(shù);
二、真題舉例
真題一:2015天津真題
66. 某水果超市購進蘋果和葡萄共計100千克,總值若干元,定價標(biāo)準(zhǔn)是蘋果降價20%,葡萄提價20%,這樣蘋果和葡萄每千克價格均為9.6元,總值比原來減少140元。計算一下,該超市購進蘋果有多少千克?( )
A. 65 B. 70 C. 75 D. 80
【解析】本題設(shè)未知數(shù)求解比較麻煩,可以借助雞兔同籠公式求解。由題意知,蘋果原價9.61-20%=12元,每千克降價12-9.6=2.4元;葡萄原價9.61+20%=8元,每千克提價9.6-8=1.6元;假設(shè)100千克都是葡萄,則共提價160元,與實際相差160+140=300元,每有1千克葡萄轉(zhuǎn)化為蘋果就相差2.4+1.6=4元,可得蘋果有300÷4=75千克。故選C。
真題二:2012北京真題
72. 某服裝店進了襯衫和背心總共24件,總進價為400元。已知襯衫和背心每件的進價分別為90元和 10元,問襯衫總進價比背心總進價( )。
A. 低40元 B. 高40元
C. 低120元 D. 高120元
【解析】本題設(shè)未知數(shù)求解比較麻煩,可以借助雞兔同籠公式求解。假設(shè)都進的背心,則需要花240元,比現(xiàn)在要少花160元;襯衫和背心差價為80元,所以襯衫進了160÷80=2件。因此,襯衫總進價比背心總進價低10×22-90×2=40元。故選A。
真題三:2013安徽省考
57. 出租車隊去機場接某會議的參會者,如果每車坐3名參會者,則需另外安排一輛大巴送走余下的50人;如每車坐4名參會者,則最后正好多出3輛空車。問該車隊有多少輛出租車?( )
A. 50 B. 55 C. 60 D. 62
【解析】本題設(shè)未知數(shù)求解比較麻煩,可以借助盈虧公式求解。根據(jù)盈虧問題公式可知,(盈+虧)÷(兩次每車分配數(shù)的差)=車數(shù)。所以有出租車(50+3×4)÷(4-3)=62輛。故選D。
真題四:2012浙江省考
46. 端午節(jié)大家一起包粽子,每個粽子需要一張粽葉,如果每個粽子包80克米則多出10張粽葉,如果每個粽子包60克米則少10張粽葉。問有多少張粽葉?( )
A. 60 B. 70 C. 80 D. 90
【解析】本題設(shè)未知數(shù)求解比較麻煩,可以借助盈虧公式求解!懊總粽子包80克米則多出10張粽葉”相當(dāng)于少800克米,“每個粽子包60克米則少10張粽葉”相當(dāng)于多600克米,由盈虧問題公式得,共有粽葉(800+600)÷(80-60)=70張。故選B。
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