一、第一抽屜原理
原理1:把多于n個的物體放到n個抽屜里,則至少有一個抽屜里有2個或2個以上的物體。
證明(反證法):
如果每個抽屜至多只能放進一個物體,那么物體的總數至多是n,而不是題設的n+k(k≥1),這不可能。
原理2:把多于mn(m乘以n)個的物體放到n個抽屜里,則至少有一個抽屜里有m+1個或多于m+1個的物體。
證明(反證法):若每個抽屜至多放進m個物體,那么n個抽屜至多放進mn個物體,與題設不符,故不可能。
原理3:
把無窮多件物體放入n個抽屜,則至少有一個抽屜里有無窮個物體。
二、第二抽屜原理
把(mn-1)個物體放入n個抽屜中,其中必有一個抽屜中至多有(m—1)個物體。
例1:400人中至少有2個人的生日相同。
例2:我們從街上隨便找來13人,就可斷定他們中至少有兩個人屬相相同。
例3:從任意5雙手套中任取6只,其中至少有2只恰為一雙手套。
例4:從任意5雙手套中任取6只,其中至少有2只恰為一雙手套。
例5:從數1,2,...,10中任取6個數,其中至少有2個數為奇偶性不同。
三、抽屜原理與整除問題
整除問題:把所有整數按照除以某個自然數m的余數分為m類,叫做m的剩余類或同余類,用[0],[1],[2],…,[m-1]表示。每一個類含有無窮多個數,例如[1]中含有1,m+1,2m+1,3m+1,…。在研究與整除有關的問題時,常用剩余類作為抽屜。根據抽屜原理,可以證明:任意n+1個自然數中,總有兩個自然數的差是n的倍數。(證明:n+1個自然數被n整除余數至少有兩個相等(抽屜原理),不妨記為m=a1*n+b n=a2*n+b,則m-n整除n)。
例1證明:任取8個自然數,必有兩個數的差是7的倍數。
四、經典練習:
1. 木箱里裝有紅色球3個、黃色球5個、藍色球7個,若蒙眼去摸,為保證取出的球中有兩個球的顏色不相同,則最少要取出多少個球?
解析:把3種顏色看作3個抽屜,若要符合題意,則小球的數目必須大于7,故至少取出8個小球才能符合要求。
2.一幅撲克牌有54張,最少要抽取幾張牌,方能保證其中至少有2張牌有相同的點數?
解析:點數為1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1張,再取大王、小王各1張,一共15張,這15張牌中,沒有兩張的點數相同。這樣,如果任意再取1張的話,它的點數必為1~13中的一個,于是有2張點數相同。
3.某校有55個同學參加數學競賽,已知將參賽人任意分成四組,則必有一組的女生多于2人,又知參賽者中任何10人中必有男生,則參賽男生的人生為__________人。
解析:因為任意分成四組,必有一組的女生多于2人,所以女生至少有4×2+1=9(人);因為任意10人中必有男生,所以女生人數至多有9人。所以女生有9人,男生有55-9=46(人)
4、證明:從1,3,5,……,99中任選26個數,其中必有兩個數的和是100。
解析:將這50個奇數按照和為100,放進25個抽屜:(1,99),(3,97),(5,95),……,(49 ,51)。根據抽屜原理,從中選出26個數,則必定有兩個數來自同一個抽屜,那么這兩個數的和即為100。
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