1.數(shù)的整除特性

　　被4整除：末兩位是4的倍數(shù)，如16,216,936…

　　被8整除：末三位是8的倍數(shù)，如144，2144，3152

　　被9整除：每位數(shù)字相加是9的倍數(shù)，如，81，936，549

　　被1 1整除：奇數(shù)位置上的數(shù)字和與偶數(shù)位置上的數(shù)字和之間的差是11的倍數(shù)。 如，121，231，9295

　　如果數(shù)A被C整除，數(shù)B被C整除，則，A+B 能被C整除 ; A*B也能被C整除

　　如果A能被C整除，A能被B整除，BC互質(zhì)，則A能被B*C整除。

　　例：有四個(gè)自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個(gè)自然數(shù)的和是：

　　析：A除以B商是5余5，B的5倍是5的倍數(shù)，5是5的倍數(shù)，則A是5的倍數(shù)，同理A是6的倍數(shù)，A是7的倍數(shù)，則A為最小公倍數(shù)，210，此題得解。

　　2.剩余定理

　　原理用個(gè)例子解釋，一個(gè)數(shù)除以3余2，那么，這個(gè)數(shù)加3再除以3，余數(shù)還是2.

　　一個(gè)數(shù)除以5余3，除以4余3，那么這個(gè)數(shù)加上5和4的公倍數(shù) 所得到的數(shù)，除3還是能得到這個(gè)結(jié)論。

　　例：一個(gè)三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有()

　　析：7是最小的滿足條件的數(shù)。9，5，4的最小公倍數(shù)為180，則187是第二個(gè)這樣的數(shù)，367，547，727，907共5個(gè)三位數(shù)。

　　例：有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個(gè)年級(jí)至少有多少人?

　　析：題目轉(zhuǎn)化為，一個(gè)數(shù)除以9余5,除以7余1，除以5除2。第一步，從最大的數(shù)開刀，先找出除以9余5的最小數(shù)，14。 第二步，找出滿足每9人一排多5人，每7人一排多1人的最小的數(shù)。14除以7不余1;再試14+9這個(gè)數(shù)，23除以7照樣不余1;數(shù)取14+9*4時(shí)，50除以7余1，即滿足每9人一排多5人，每7人一排多1人的最小的數(shù)是，50; 第三步，找符合三個(gè)條件的。50除以5不余2，再來50+63(9，7的最小公倍數(shù))=123，除5仍不余2;再來，50+126，不余2;……當(dāng)50+63*4時(shí)，余2，滿足3個(gè)條件，即至少有302個(gè)人。

　　例：自然數(shù)P滿足下列條件：P除以10的余數(shù)為9，P除以9的余數(shù)為8，P除以8的余數(shù)為7.如果100

　　析：此題可用剩余定理。但有更簡(jiǎn)單的，

　　P+1是10的倍數(shù)

　　P+1是9的倍數(shù)

　　P+1是8的倍數(shù)

　　1-1000內(nèi)，10，9，8的公倍數(shù)為，360,720，則P為359,719。

　　3.84*86=?

　　出現(xiàn)如AB*AC=?，其中B+C=10，計(jì)算結(jié)果為：百位數(shù)為A(A+1)，十位/個(gè)位數(shù)為：B*C。注：如果B*C小于10，用0補(bǔ)足。如：29*21,百位數(shù)為2*3=6，個(gè)倍數(shù)為1*9=9，則結(jié)果為609.

　　4.根號(hào)3,3次根號(hào)下5，哪個(gè)小?

　　這類題，關(guān)鍵是用一個(gè)大次的根號(hào)包住兩個(gè)數(shù)。一個(gè)是2次根號(hào)，一個(gè)是3次根號(hào)，則應(yīng)該用6次根號(hào)包住它們。根號(hào)3，可以化成6次根號(hào)下27;3次根號(hào)下5，可化為6次根號(hào)下25,則根號(hào)3大于3次根號(hào)下5.

　　等差數(shù)列

　　性質(zhì)：

　　(1)等差數(shù)列的平均值等于正中間的那個(gè)數(shù)(奇數(shù)個(gè)數(shù)或者正中間那兩個(gè)數(shù)的平均值(偶數(shù)個(gè)數(shù))

　　(2)任意角標(biāo)差值相等的兩個(gè)數(shù)之差都相等，即

　　A(n+i)-An=A(m+i)-Am

　　例：{an｝是一個(gè)等差數(shù)列，a3+a7-a10=8，a11-a4=4，則數(shù)列前13項(xiàng)之和是：

　　A3-a10=A4-A11=-4

　　這道題應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)可以簡(jiǎn)單求解。

　　因此A7=8+4=12，而這13個(gè)數(shù)的平均值又恰好為正中間的數(shù)字a7，因此這13個(gè)數(shù)的和為 12×13=156

　　抽屜問題

　　解這類題的關(guān)鍵是，找出所有的可能性，然后用最不利的情況分析。

　　例：一個(gè)布袋中由35個(gè)同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個(gè)，另外還有3個(gè)藍(lán)色球、2個(gè)綠色球，試問一次至少取出多少個(gè)球,才能保證取出的球中至少有4個(gè)是同一顏色的球?

　　析：最不利的情況是，取出3個(gè)藍(lán)色球，又取了2個(gè)綠色球，白、黃、紅各取3個(gè)，這個(gè)時(shí)候再取一個(gè)就有4個(gè)是同一顏色的球了。即�。�3+2+3*3+1=15個(gè)球。