競賽講座12

　　-覆蓋

　　一個半徑為1的單位圓顯然是可以蓋住一個半徑為 的圓的.反過來則不然，一個半徑為 的圓無法蓋住單位圓.那么兩個半徑為 的圓能否蓋住呢?不妨動手實驗一下，不行.為什么不行?需幾個這樣的小圓方能蓋住大圓?……，這里我們討論的就是覆蓋問題，它是我們經(jīng)常遇到的一類有趣而又困難的問題.

　　定義 設(shè)G和F是兩個平面圖形.如果圖形F或由圖形F經(jīng)過有限次的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等變換扣得到的大小形狀不變的圖形F′上的每一點都在圖形G上.我們就說圖形G覆蓋圖形F;反之，如果圖形F或F′上至少存在一點不在G上，我們就說圖形G不能覆蓋圖形F.

　　關(guān)于圖形覆蓋，下述性質(zhì)是十分明顯的：

　　(1) 圖形G覆蓋自身;

　　(2) 圖形G覆蓋圖形E，圖形E覆蓋圖形F，則圖形G覆蓋圖形F.

　　1.最簡單情形――用一個圓覆蓋一個圖形.

　　首先根據(jù)覆蓋和圓的定義及性質(zhì)即可得到：

　　定理1 如果能在圖形F所在平面上找到一點O，使得圖形F中的每一點與O的距離都不大于定長r，則F可被一半徑為r的圓所覆蓋.

　　定理2 對于二定點A、B及定角α若圖形F中的每點都在AB同側(cè)，且對A、B視角不小于α，則圖形F被以AB為弦，對AB視角等于α的弓形G所覆蓋.

　　在用圓去覆蓋圖形的有關(guān)問題的研究中，上述二定理應(yīng)用十分廣泛.

　　例1 求證：(1)周長為2l的平行四邊形能夠被半徑為 的圓面所覆蓋.

　　(2)桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是2l，不管線圈形狀如何，都可以被個半徑為 的圓紙片所覆蓋.

　　分析 (1)關(guān)鍵在于圓心位置，考慮到平行四邊形是中心對稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對角線交點疊合.

　　(2)"曲"化"直".對比(1)，應(yīng)取均分線圈的二點連線段中點作為覆蓋圓圓心.

　　證明 (1)如圖45-1，設(shè)ABCD的周長為2l，BD≤AC，AC、BD交于O，P為周界上任意一點，不妨設(shè)在AB上，則

　　∠1≤∠2≤∠3，

　　有OP≤OA.

　　又AC

　　故OA< .

　　因此周長為2l的平行四邊形ABCD可被以O(shè)為圓心;半徑為 的圓所覆蓋，命題得證.

　　(2)如圖45-2,在線圈上分別取點R，Q，使R、Q將線圈分成等長兩段，每段各長l.又設(shè)RQ中點為G，M為線圈恥任意一點，連MR、MQ，則

　　因此，以G為圓心， 長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個線圈.

　　例2△ABC的最大邊長是a，則這個三角形可被一半徑為 的圓所覆蓋.

　　分析 a為最大邊，所對角A滿足60°≤A<180°.

　　證明 不妨設(shè)BC=a，以BC為弦，在A點所在一側(cè)作含60°角的弓形弧(圖45-3).因60°≤A≤180°，故根據(jù)定理2，△ABC可被該弓形所覆蓋.

　　由正弦定理，弓形相應(yīng)半徑r= ，所以△ABC可被半徑為 的圓所覆

　　蓋.

　　顯然覆蓋△ABC的圓有無窮多個，那么半徑為 的圓是否是最小的覆蓋圓呢?事實并不

　　盡然.

　　例3 △ABC的最大邊BC等于a，試求出覆蓋△ABC的最小圓.

　　解 分三種情形進(jìn)行討論：

　　(1) ∠A為鈍角，以BC為直徑作圓即可覆蓋△ABC.

　　(2) ∠A是直角，同樣以BC為直徑作圓即可覆蓋△ABC;

　　(3)∠A是銳角.假若⊙O覆蓋△ABC，我們可在⊙O內(nèi)平移△ABC，使一個頂點B落到圓周上，再經(jīng)過適當(dāng)旋轉(zhuǎn)，使另一個頂點落在圓周上，此時第三個頂點A在⊙O內(nèi)或其圓周上，設(shè)BC所對圓周角為α，那么∠BAC≥α，設(shè)⊙O直徑d，△ABC外接圓直徑d0，那么

　　所以對于銳角三角形ABC，最小覆蓋圓是它的外接圓.

　　今后我們稱覆蓋圖形F的圓中最小的一個為F的最小覆蓋圓.最小覆蓋圓的半徑叫做圖形F的覆蓋半徑.

　　綜合例2、例3，即知△ABC中，若a為最大邊，則△ABC的覆蓋半徑r滿足

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