競賽講座10

　　--抽屜原則

　　大家知道，兩個抽屜要放置三只蘋果，那么一定有兩只蘋果放在同一個抽屜里，更一般地說，只要被放置的蘋果數比抽屜數目大，就一定會有兩只或更多只的蘋果放進同一個抽屜，可不要小看這一簡單事實，它包含著一個重要而又十分基本的原則——抽屜原則.

　　1. 抽屜原則有幾種最常見的形式

　　原則1 如果把n+k(k≥1)個物體放進n只抽屜里，則至少有一只抽屜要放進兩個或更多個物體：

　　原則本身十分淺顯，為了加深對它的認識，我們還是運用反證法給予證明;如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數至多是n，而不是題設的n+k(k≥1)，這不可能.

　　原則雖簡單.巧妙地運用原則卻可十分便利地解決一些看上去相當復雜、甚至感到無從下手的總是，比如說，我們可以斷言在我國至少有兩個人出生的時間相差不超過4秒鐘，這是個驚人的結論，該是經過很多人的艱苦勞動，統計所得的吧!不，只須我們稍動手算一下：

　　不妨假設人的壽命不超過4萬天(約110歲，超過這個年齡數的人為數甚少)，則

　　10億人口安排在8億6千4百萬個“抽屜”里，根據原則1，即知結論成立.

　　下面我們再舉一個例子：

　　例1 幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具，每個小朋友任意選擇兩件，那么不管怎樣挑選，在任意七個小朋友中總有兩個彼此選的玩具都相同，試說明道理.

　　解 從三種玩具中挑選兩件，搭配方式只能是下面六種：

　　(兔、兔)，(兔、熊貓)，(兔、長頸鹿)，(熊貓、熊貓)，(熊貓、長頸鹿)，(長頸鹿、長頸鹿)

　　把每種搭配方式看作一個抽屜，把7個小朋友看作物體，那么根據原則1，至少有兩個物體要放進同一個抽屜里，也就是說，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，選的玩具相同.

　　原則2 如果把mn+k(k≥1)個物體放進n個抽屜，則至少有一個抽屜至多放進m+1個物體.證明同原則相仿.若每個抽屜至多放進m個物體,那么n個抽屜至多放進mn個物體,與題設不符，故不可能.

　　原則1可看作原則2的物例(m=1)

　　例2正方體各面上涂上紅色或藍色的油漆(每面只涂一種色)，證明正方體一定有三個面顏色相同.

　　證明把兩種顏色當作兩個抽屜，把正方體六個面當作物體，那么6=2×2+2，根據原則二，至少有三個面涂上相同的顏色.

　　例3 把1到10的自然數擺成一個圓圈，證明一定存在在個相鄰的數，它們的和數大于17.

　　證明 如圖12-1，設a1，a2，a3，…，a9，a10分別代表不超過10的十個自然數，它們圍成一個圈，三個相鄰的數的組成是(a1，a2，a3)，(a2，a3，a4)，(a3，a4，a5)，…,(a9，a10，a1),(a10，a1，a2)共十組.現把它們看作十個抽屜，每個抽屜的物體數是a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5，…a9+a10+a1，a10+a1+a2,由于

　　(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+…+(a9+a10+a1)+(a10+a1+a2)

　　=3(a1+a2+…+a9+a10)

　　=3×(1+2+…+9+10)

　　根據原則2,至少有一個括號內的三數和不少于17,即至少有三個相鄰的數的和不小于17.

　　原則1、原則2可歸結到期更一般形式：

　　原則3把m1+m2+…+mn+k(k≥1)個物體放入n個抽屜里，那么或在第一個抽屜里至少放入m1+1個物體，或在第二個抽屜里至少放入m2+1個物體，……，或在第n個抽屜里至少放入mn+1個物體.

　　證明假定第一個抽屜放入物體的數不超過m1個，第二個抽屜放入物體的數不超過m2個，……，第n個抽屜放入物體的個數不超過mn，那么放入所有抽屜的物體總數不超過m1+m2+…+mn個，與題設矛盾.

　　例4 有紅襪2雙，白襪3雙，黑襪4雙，黃襪5雙，藍襪6雙(每雙襪子包裝在一起)若取出9雙，證明其中必有黑襪或黃襪2雙.

　　證明 除可能取出紅襪、白襪3雙外.還至少從其它三種顏色的襪子里取出4雙，根據原理3，必在黑襪或黃襪、藍襪里取2雙.

　　上面數例論證的似乎都是“存在”、“總有”、“至少有”的問題，不錯，這正是抽屜原則的主要作用.需要說明的是，運用抽屜原則只是肯定了“存在”、“總有”、“至少有”，卻不能確切地指出哪個抽屜里存在多少.

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