競賽專題講座06

　　-平面幾何四個重要定理

　　四個重要定理：

　　梅涅勞斯(Menelaus)定理(梅氏線)

　　△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是 。

　　塞瓦(Ceva)定理(塞瓦點)

　　△ABC的三邊BC、CA、AB上有點P、Q、R，則AP、BQ、CR共點的充要條件是 。

　　托勒密(Ptolemy)定理

　　四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。

　　西姆松(Simson)定理(西姆松線)

　　從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。

　　例題：

　　1.　 設(shè)AD是△ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證： 。

　　【分析】CEF截△ABD→ (梅氏定理)

　　【評注】也可以添加輔助線證明：過A、B、D之一作CF的平行線。

　　2.　 過△ABC的重心G 的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。

　　求證： 。

　　【分析】連結(jié)并延長AG交BC于M，則M為BC的中點。

　　DEG截△ABM→ (梅氏定理)

　　DGF截△ACM→ (梅氏定理)

　　∴ = = =1

　　【評注】梅氏定理

　　3.　 D、E、F分別在△ABC的BC、CA、AB邊上，

　　，AD、BE、CF交成△LMN。

　　求S△LMN。

　　【分析】

　　【評注】梅氏定理

　　4.　 以△ABC各邊為底邊向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點。

　　【分析】

　　【評注】塞瓦定理

　　5. 已知△ABC中，∠B=2∠C。求證：AC2=AB2+AB·BC。

　　【分析】過A作BC的平行線交△ABC的外接圓于D，連結(jié)BD。則 CD=DA=AB，AC=BD。

　　由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。

　　【評注】托勒密定理

　　6. 已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。

　　求證： 。(第21屆全蘇數(shù)學(xué)競賽)

　　【分析】

　　【評注】托勒密定理

　　7. △ABC的BC邊上的高AD的延長線交外接圓于P，作PE⊥AB于E，延長ED交AC延長線于F。

　　求證：BC·EF=BF·CE+BE·CF。

　　【分析】

　　【評注】西姆松定理(西姆松線)

　　8. 正六邊形ABCDEF的對角線AC、CE分別被內(nèi)分點M、N分成的比 為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求k。(23-IMO-5)

　　【分析】

　　【評注】面積法

　　9. O為△ABC內(nèi)一點，分別以da、db、dc表示O到BC、CA、AB 的距離，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距離。

　　求證：(1)a·Ra≥b·db+c·dc;

　　(2) a·Ra≥c·db+b·dc;

　　(3) Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。

　　【分析】

　　【評注】面積法

　　10.△ABC中，H、G、O分別為垂心、重心、外心。

　　求證：H、G、O三點共線，且HG=2GO。(歐拉線)

　　【分析】

　　【評注】同一法

　　11.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BM、BN三等分∠ABC，與AD相交于M、N，延長CM交AB于E。

　　求證：MB//NE。

　　【分析】

　　【評注】對稱變換

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