【例4】 P是⊙O的弦AB的中點(diǎn)，過P點(diǎn)引⊙O的兩弦CD、EF，連結(jié)DE交AB于M，連結(jié)CF交AB于N。求證：MP=NP。(蝴蝶定理)

　　【分析】設(shè)GH為過P的直徑，F(xiàn) F’F，顯然‘∈⊙O。又P∈GH，∴PF’=PF�！逷F PF‘，PA PB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。

　　又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB�！唷螰’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’

　　=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四點(diǎn)共圓�！唷螾F’M=∠PDE=∠PFN。

　　∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。

　　【評注】一般結(jié)論為：已知半徑為R的⊙O內(nèi)一弦AB上的一點(diǎn)P，過P作兩條相交弦CD、EF，連CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中點(diǎn)的距離為a，則 。(解析法證明：利用二次曲線系知識)

　　【例5】⊙O是給定銳角∠ACB內(nèi)一個定圓，試在⊙O及射線CA、CB上各求一點(diǎn)P、Q、R，使得△PQR的周長為最小。

　　【分析】在圓O上任取一點(diǎn)P0，令P0 P1，P0 P2，連結(jié)P1P2分別交CA、CB于Q1、R1。顯然△P0Q1R1是在取定P0的情況下周長最小的三角形。

　　設(shè)P0P1交CA于E，P0P2交CB于F，則P0Q1 +Q1R1 +R1P0= P1P2=2EF。

　　∵E、C、F、P0四點(diǎn)共圓，CP0是該圓直徑，由正弦定理，EF=CP0sin∠ECF。

　　∴當(dāng)CP0取最小值時(shí)，EF為最小，從而△P0Q1R1的周長為最小，于是有作法：

　　連結(jié)OC，交圓周于P，令P P1，P P2，連結(jié)P1P2分別交CA、CB于Q、R。則P、Q、R為所求。

　　【例6】 △ABC中，∠A≥90°，AD⊥BC于D，△PQR是它的任一內(nèi)接三角形。求證：PQ+QR+RP>2AD。

　　【分析】設(shè)P P’，P P‘’。則RP=RP‘，PQ=P’‘Q，AP=AP’=AP‘’。

　　∴PQ+QR+RP= P‘’Q+QR+RP‘。

　　又∠A≥90°，∴∠P’AP+∠P‘’AP=2∠A≥180°，A點(diǎn)在線段P‘P’‘上或在凸四邊形P’RQP‘’的內(nèi)部�！郟‘’Q+QR+RP‘>AP’+AP‘’=2AP>2AD。

　　∴PQ+QR+RP>2AD。

　　【評注】如果題設(shè)中有角平分線、垂線，或圖形是等腰三角形、圓等軸對稱圖形，可以將圖形或其部分進(jìn)行軸對稱變換。此外，也可以適當(dāng)選擇對稱軸將一些線段的位置變更，以便于比較它們之間的大小。

　　【例7】 以△ABC的邊AB、AC為斜邊分別向外作等腰直角三角形APB、AQC，M是BC的中點(diǎn)。求證：MP=MQ，MP⊥MQ。

　　【分析】延長BP到E，使PE=BP，延長CQ到F， 使QF=CQ，則△BAE、△CAF都是等腰三角形。

　　顯然：E B，C F，∴EC=BF，EC⊥BF。

　　而PM EC，MQ BF，∴MP=MQ，MP⊥MQ。

　　【例8】 已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°;P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。(O為費(fèi)馬點(diǎn))

　　【分析】將C C‘，O O’， P P‘，連結(jié)OO’、PP‘。則△B OO’、△B PP‘都是正三角形。

　　∴OO’=OB，PP‘ =PB。顯然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。

　　由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四點(diǎn)共線。

　　∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。

　　【例9】⊙O與△ABC的三邊BC、CA、AB分別交于點(diǎn)A1、A2、B1、B2、C1、C2，過上述六點(diǎn)分別作所在邊的垂線a1、a2、b1、b2、，設(shè)a1、b2、c1三線相交于一點(diǎn)D。求證：a2、b1、c2三線也相交于一點(diǎn)。

　　【分析】∵a1、a2關(guān)于圓心O成中心對稱，

　　∴a1 a2。

　　同理，b1 b2，c1 c2。

　　∴a1、b2、c1的公共點(diǎn)D在變換R(O，180°)下的像D’也是像a2、b1、c2的公共點(diǎn)，即a2、b1、c2三線也相交于一點(diǎn)。

　　【例10】AD是△ABC的外接圓O的直徑，過D作⊙O的切線交BC于P，連結(jié)并延長PO分別交AB、AC于M、N。求證：OM=ON。

　　【分析】設(shè)O O‘，N N’，而M B，

　　∵M(jìn)、O、N三點(diǎn)共線，∴B、O‘、N’三點(diǎn)共線，且 。

　　取BC中點(diǎn)G，連結(jié)OG、O‘G、DG、DB。

　　∵∠OGP=∠ODP=90°，∴P、D、G、O四點(diǎn)共圓。

　　∴∠ODG=∠OPG，而由MN∥BN’有∠OPG=∠O‘BG，

　　∴∠ODG=∠O’BG，∴O‘、B、D、G四點(diǎn)共圓。

　　∴∠O’GB=∠O‘DB。而∠O’DB=∠ACB，∴∠O‘GB=∠ACB，O’G∥AC，

　　而G是BC的中點(diǎn)，∴O‘是BN’的中點(diǎn)，O‘B= O’ N‘，

　　∴OM=ON。

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