競賽講座05

　　-幾何解題途徑的探求方法

　　一.充分地展開想象

　　想象力，就是人們平常說的形象思維或直覺思維能力。想象力對于人們的創(chuàng)造性勞動的重要作用，馬克思曾作過高度評價：“想象是促進人類發(fā)展的偉大天賦�！苯忸}一項創(chuàng)造性的工作，自然需要豐富的想象力。在解題過程中，充分展開想象，主要是指：

　　1.全面地設(shè)想

　　設(shè)想，是指對同一問題從各個不同的角度去觀察思考和深入分析其特征，推測解題的大致方向，構(gòu)思各種不同的處理方案。

　　例1.在 中，AB=AC，D是BC邊上一點，E是線段AD上一點 ，且 ，求證：BD=2CD(92年全國初中聯(lián)賽試題)

　　例2. 在 中，AB>AC， 的外角平分線交 的外接圓于D， 于E。求證： (89年全國高中聯(lián)賽試題)

　　3.在 的斜邊上取一點D，使 的內(nèi)切圓相等。證明： (31屆IMO備選題)

　　例4.設(shè)A是三維立體 的長方體磚塊。若B是所有到A的距離不超過1的點的集合(特別地，B包含A)，試用 的多項式表示B的體積(84年美國普特南數(shù)學(xué)竟賽試題)

　　2.廣泛地聯(lián)想

　　聯(lián)想，是指從事物的相聯(lián)糸中來考慮問題，從一事物想到與其相關(guān)的各種不同的事物，進行由此彼的思索。在解題過程中，我們?nèi)缒芨�椐問題特征廣泛地聯(lián)想熟知命題，并設(shè)法將其結(jié)論或解法加以利用，則無疑是獲得解題途徑的簡捷方法。

　　例5.在 中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若角A，B，C的大小成等比數(shù)列，且 ，求角B(85年全國高中聯(lián)賽試題)

　　例6.四邊形ABCD內(nèi)接于 ，對角線 于 ， 是 的中點， (78年上海高中竟賽試題)

　　例7. 在正方體 中， 是 的中點， 在棱 上，且 ，求平面 與底面 所成的二面角。(85年全國高中聯(lián)賽試題)

　　例8. 設(shè) 為 0的內(nèi)接四邊形， 依次為

　　的垂心。求證： 四點在同一個圓上，并確定該圓的圓心位置。(92年全國高中聯(lián)賽試題)

　　3.大膽地猜測想

　　猜想，是指由直覺或某些數(shù)學(xué)事實，推測某個判斷或命題可能成立的一種創(chuàng)造性的思維活動過程�？茖W(xué)家都非常重視猜想的作用。譽滿世界被稱為數(shù)學(xué)王子的德國數(shù)學(xué)家高斯就曾深有體會地說：“沒有大膽的猜想就不可能有偉大的發(fā)現(xiàn)�！薄叭魺o某種放肆的猜想，一般是不可能有知識的進展的�！痹诮忸}過程中，通過猜想不僅可以得到問題的結(jié)論，而且還可以獲得解題的途徑，但應(yīng)注意，由猜想所得出的結(jié)論不一定可靠，其正確性還必須經(jīng)過嚴格的邏輯證明或?qū)嵺`的檢驗。

　　例9. 正方形 的邊長為1， 分別是邊 與邊 上各一點。若 的周長為2。求 (88年國家隊選拔試題)

　　例10.已知圓內(nèi)接四邊形的對角線 與 相交于 。求證： 例11.已知四面體 的六條棱長之和為 ，并且

　　，試求它的最大體積。(28屆IMO備選題)

　　例12.設(shè)正方體 的棱長為 ，過棱 上一點 作一直線與棱 和 的延長線分別交于 ，試問：當(dāng) 在棱 上移動時，線段 最短時的長度是多少?證明你的結(jié)論。

　　二.精心地進行類比

　　類比，是指人們在觀察或思考問題時，往往把相似的事物加以比較，并把處理某些事物的成功經(jīng)驗用到與其性質(zhì)相似的另一些事物上去的思維方式。在解題過程中，若能將它與相似的問題精心地進行類比，則往往可由此得到解題途徑，甚至發(fā)現(xiàn)新的知識。

　　例13.四邊形 內(nèi)接于⊙ ，對角線 與 相交于 ，設(shè) 和 的外接圓圓心分別為 。求證： 三直線共點。(90年全國高中聯(lián)試題)

　　例14.在四面體 中，已知 ，試問： 之間有何關(guān)系?證明你的結(jié)論。

　　例16.設(shè) 是四體 內(nèi)部的任意一點， 和 的延長線分別與面 和 交于 。求證： 三.合理地利用特殊

　　例17. 和 在邊 的同側(cè), ,且邊 與邊 相交于 點.求證: .

　　例18.已知半徑分別為 、 ( > )的兩圓內(nèi)切于 ， 是外圓的直徑， 的垂線與兩圓分別交于 同側(cè)的兩點 和 ，試求 的外接圓直徑(83年蘇聯(lián)競賽題)

　　例19.設(shè) 是 的角平分線，且點 共線( )，則

　　(79年蘇聯(lián)競賽題)

　　例20.已知菱形 外切于⊙ ， 是與邊 分別交于 的⊙ 的任一切線，求證： 為定值。(89年蘇聯(lián)奧賽題)

　　例21.設(shè) 是正三角形 外接圓的劣弧 上任一點，求證：(1) ;(2) 例22.求證：頂點在單位圓上的銳角三角形的三個內(nèi)角的余弦之和小于這個三角形周長的一半。

　　例23. 外接于⊙ ， 是 弧上一點，過 作 的垂線，與 分別于 ，與 分別義于 。求證： 的充要條件是 。

　　例24.在凸六邊形 中，若對角線 中的每一條都把六邊形分成面積相等的兩部分，則這三條對角線相交于一點(88年蘇聯(lián)奧賽題)

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