第三章 珠算乘法

　　【基本要求】

　　1.了解乘法的種類

　　2.了解乘法的運(yùn)算順序

　　3.熟悉乘法口訣

　　4.熟悉乘法的簡(jiǎn)便算法

　　5.掌握珠算乘法的定位方法

　　6.掌握常用的珠算乘法

　　【考試內(nèi)容】

第一節(jié) 珠算乘法原理

　　一、乘法的種類

　　珠算乘法按照不同標(biāo)準(zhǔn)可以分為不同種類：(1)按適用范圍可分為基本乘法和其他乘法;(2)按乘算順序可分為前乘法和后乘法;(3)按積的位置可分為隔位乘法和不隔位乘法;(4)按是否在盤(pán)上置數(shù)可分為置數(shù)乘法和空盤(pán)乘法。

　　二、乘法的運(yùn)算順序

　　乘法的運(yùn)算順序因采用的方法不同而略有差異，如果采用“前乘法”，運(yùn)算從左到右，先從被乘數(shù)的最高位乘起，依次乘到最低位;如果采用“后乘法”，運(yùn)算從右到左，先從被乘數(shù)的最低位乘起，依次乘到最高位。

　　三、乘法口訣

　　乘法口訣是指導(dǎo)乘法運(yùn)算的常用口訣。其中，包含81句口訣的乘法口訣被稱為大九九口訣(如表3-1所示)，只包含其中45句口訣的乘法口訣被稱為小九九口訣(如表3-1粗實(shí)線左下方所示)。

　　表3-1 大九九口訣表

　　表3-1中的大九九口訣中共有81個(gè)積數(shù)，但由于乘法遵循交換律(如7×9和9×7的乘積均為63)，所以，該表中只有45句口訣的積數(shù)是不同的，人們?yōu)榱藴p輕記憶負(fù)擔(dān)，就把重復(fù)的36句口訣刪去。積數(shù)不同的45句乘法口訣被稱為小九九口訣。小九九口訣先讀小的因數(shù)，而不固定被乘數(shù)(實(shí)數(shù))和乘數(shù)(法數(shù))的位置。

　　大九九口訣是一套完整的口訣，能適用各種算題，計(jì)算時(shí)不用顛倒被乘數(shù)、乘數(shù)的順序，撥珠順序合理，既快速又不易發(fā)生差錯(cuò)，并且當(dāng)積的個(gè)位數(shù)或十位數(shù)為零時(shí)，可以間檔而不錯(cuò)檔。所以，在珠算乘法計(jì)算中提倡采用大九九口訣。

第二節(jié) 珠算乘法的定位方法

　　一、乘法中的數(shù)

　　乘法中的數(shù)包括整數(shù)和小數(shù)。

　　整數(shù)是正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)的統(tǒng)稱。

　　小數(shù)是指由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)組成的數(shù)字。小數(shù)包括純小數(shù)和帶小數(shù)。純小數(shù)是指整數(shù)部分是零的小數(shù)。帶小數(shù)是指整數(shù)部分是非零的小數(shù)。

　　二、數(shù)的位數(shù)

　　乘積的定位通常是以被乘數(shù)和乘數(shù)的位數(shù)為依據(jù)。數(shù)的位數(shù)共分為正位數(shù)、負(fù)位數(shù)和零位數(shù)三類。

　　1.正位數(shù)

　　一個(gè)數(shù)有幾位整數(shù)，就叫做正(+)幾位。

　　2.負(fù)位數(shù)

　　一個(gè)純小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)后到第一個(gè)有效數(shù)字之間有幾個(gè)“0”，就叫做負(fù)(-)幾位。

　　3.零位數(shù)

　　一個(gè)純小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)后到第一個(gè)有效數(shù)字之間沒(méi)有零，就叫做零(0)位。

　　4.數(shù)的位數(shù)與盤(pán)上檔位的對(duì)應(yīng)

　　數(shù)的位數(shù)與盤(pán)上的檔位具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。其中，數(shù)的正一位對(duì)應(yīng)個(gè)位檔，依次向左遞增，向右遞減。

　　三、積的定位方法

　　(一)固定個(gè)位法

　　固定個(gè)位法又稱算前定位法，它是先在算盤(pán)上定出個(gè)位檔，在采用不隔位破頭乘法運(yùn)算時(shí)，該法根據(jù)被乘數(shù)的位數(shù)(m)與乘數(shù)的位數(shù)(n)之和(即m+n)來(lái)確定被乘數(shù)首位數(shù)的入盤(pán)檔。如果二者位數(shù)和(m+n)為1，即為正一位，就將被乘數(shù)首位數(shù)置于既定的個(gè)位檔上;如果位數(shù)和為2，即為正二位，就將被乘數(shù)首位數(shù)置于個(gè)位檔左邊的十位檔上;如果位數(shù)和為0，即為零位，就將被乘數(shù)首位數(shù)置于個(gè)位檔右邊的十分位檔上;如果位數(shù)和為-1，即為負(fù)一位，就將被乘數(shù)首位數(shù)置于個(gè)位檔右邊的百分位檔上，依此類推。置數(shù)上盤(pán)進(jìn)行運(yùn)算后，盤(pán)上得數(shù)即為所求的積數(shù)。

　　在采用空盤(pán)前乘法運(yùn)算時(shí)，二者位數(shù)和就是起乘檔，即積數(shù)首次乘積十位數(shù)的入盤(pán)檔。

　　(二)公式定位法

　　公式定位法又稱算后定位法，它是先將積數(shù)的首位數(shù)與被乘數(shù)、乘數(shù)的首位數(shù)進(jìn)行比較，然后以被乘數(shù)的位數(shù)(m)與乘數(shù)的位數(shù)(n)之和(即m+n)為基準(zhǔn)來(lái)確定積數(shù)的位數(shù)。具體包括三種情形：

　　1.積首小，位相加

　　積數(shù)首位數(shù)小于被乘數(shù)或乘數(shù)的首位數(shù)時(shí)，被乘數(shù)的位數(shù)與乘數(shù)的位數(shù)之和即為積數(shù)的位數(shù)。

　　即：積數(shù)的位數(shù)(以下簡(jiǎn)稱積位)=m+n

　　2.積首大，加后減1

　　積數(shù)首位數(shù)大于被乘數(shù)或乘數(shù)的首位數(shù)時(shí)，被乘數(shù)的位數(shù)加上乘數(shù)的位數(shù)減去1，即為積數(shù)的位數(shù)。

　　即：積位=m+n-1

　　3.首相等，比下位

　　如果積數(shù)、被乘數(shù)和乘數(shù)三者的首位數(shù)均相等時(shí)，就比較三者的第二位數(shù)，如果仍相等，就依次比較第三位數(shù)，依此類推，直至末位數(shù)，如果仍均相等，則視同積數(shù)首位數(shù)大。在比較過(guò)程中，只要三者不全相等，就按照前述兩種情形確定積數(shù)的位數(shù)。

第三節(jié) 基本珠算乘法

　　一、空盤(pán)前乘法

　　空盤(pán)前乘法是指兩數(shù)相乘時(shí)，運(yùn)算前不用在盤(pán)上置數(shù)，而是依次用乘數(shù)的首位數(shù)至末位數(shù)去乘被乘數(shù)。這種方法的要點(diǎn)是：

　　1.確定起乘檔

　　確定首次乘積十位數(shù)應(yīng)撥入的檔位，被乘數(shù)與乘數(shù)均不上盤(pán)。

　　2.運(yùn)算順序

　　運(yùn)算時(shí)，要默記被乘數(shù)，眼看乘數(shù)。首先用被乘數(shù)的首位數(shù)去乘乘數(shù)的首位數(shù)至末位數(shù);然后用被乘數(shù)的第二位數(shù)去乘乘數(shù)的首位數(shù)至末位數(shù);依此類推。

　　3.加積的檔位

　　如果利用固定個(gè)位法，用被乘數(shù)的首位數(shù)與乘數(shù)的首位數(shù)相乘時(shí)，其積的十位數(shù)加在算盤(pán)起乘檔的第一檔上，積的個(gè)位數(shù)加在其十位數(shù)的右一檔上，以后每乘一位乘積的十位數(shù)逐位向右移，直至乘完;再用被乘數(shù)的第二位數(shù)與乘數(shù)首位數(shù)相乘，其乘積的十位數(shù)加在起乘檔右一檔上，以后各位的乘積的記數(shù)位置依次右移，依此類推。

　　如果利用公式定位法，首積的十位數(shù)加在起乘檔上，個(gè)位數(shù)右移一檔，乘數(shù)的第二位數(shù)及以后各位與固定個(gè)位法相同。

　　4.乘積

　　利用固定個(gè)位法時(shí)，當(dāng)用乘數(shù)乘完被乘數(shù)的末位數(shù)以后，反映在算盤(pán)上的數(shù)，就是乘積;如果利用公式定位法，還需根據(jù)定位公式確定積的位數(shù)。

　　加積規(guī)律：前檔加積十位，后檔加積個(gè)位。

　　前后積規(guī)律：前積的個(gè)位是后積的十位。

　　這種方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算速度快，檔次清楚，準(zhǔn)確率高，不怕數(shù)位多。

　　二、掉尾乘法

　　掉尾乘法是指兩數(shù)相乘時(shí)，依次用乘數(shù)的末位數(shù)至首位數(shù)去乘被乘數(shù)。這種方法的要點(diǎn)是：

　　1.置數(shù)

　　采用固定個(gè)位法時(shí)，確定被乘數(shù)首位數(shù)應(yīng)撥入的檔位，依次布入被乘數(shù)，將乘數(shù)撥入算盤(pán)右邊適當(dāng)?shù)奈恢谩?/P>

　　2.運(yùn)算順序

　　首先依次用乘數(shù)的末位數(shù)至首位數(shù)分別去乘被乘數(shù)的末位數(shù);接著依次用乘數(shù)的末位數(shù)至首位數(shù)分別去乘被乘數(shù)的倒數(shù)第二位數(shù);依此類推，直至依次用乘數(shù)的末位數(shù)至首位數(shù)分別去乘被乘數(shù)的首位數(shù)。

　　3.加積的檔位

　　每次運(yùn)算時(shí)，用乘數(shù)的第幾位數(shù)去乘被乘數(shù)，其積數(shù)的個(gè)位數(shù)就加在該被乘數(shù)本檔的右邊第幾檔上，積的十位數(shù)則相應(yīng)加在其個(gè)位檔的左一檔上。當(dāng)用乘數(shù)的首位數(shù)去乘被乘數(shù)時(shí)，將被乘數(shù)本檔算珠改變?yōu)槠涑朔e的十位數(shù)。

　　特別需要說(shuō)明的是，運(yùn)算過(guò)程中，如果滿十不能進(jìn)位時(shí)，只能默記，乘完后再補(bǔ)進(jìn)。

　　4.乘積

　　當(dāng)用乘數(shù)乘完被乘數(shù)的首位數(shù)以后，反映在算盤(pán)上的數(shù)，就是乘積。

　　這種方法的優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算方法同筆算運(yùn)算順序相同。但掉尾乘法定位難度大，容易錯(cuò)檔;運(yùn)算順序從右到左，很不方便，實(shí)效不佳。

　　三、留頭乘法

　　留頭乘法是指兩數(shù)相乘時(shí)，依次用乘數(shù)的第二位數(shù)直至末位數(shù)去乘被乘數(shù)，最后用乘數(shù)的首位數(shù)去乘被乘數(shù)。這種方法的要點(diǎn)是：

　　1.置數(shù)

　　采用固定個(gè)位法時(shí)，確定被乘數(shù)首位數(shù)應(yīng)撥入的檔位，依次布入被乘數(shù)，將乘數(shù)撥入算盤(pán)右邊適當(dāng)?shù)奈恢谩?/P>

　　2.運(yùn)算順序

　　首先用乘數(shù)的第二位數(shù)、第三位數(shù)直至末位數(shù)，最后用首位數(shù)依次去乘被乘數(shù)的末位數(shù);接著用乘數(shù)的第二位數(shù)、第三位數(shù)直至末位數(shù)，最后用首位數(shù)依次去乘被乘數(shù)的倒數(shù)第二位數(shù);依此類推，直至用乘數(shù)的第二位數(shù)、第三位數(shù)直至末位數(shù)，最后用首位數(shù)依次去乘被乘數(shù)的首位數(shù)。

　　3.加積的檔位

　　每次運(yùn)算時(shí)，用乘數(shù)的第幾位數(shù)去乘被乘數(shù)，其積數(shù)的個(gè)位數(shù)就加在該被乘數(shù)本檔的右邊第幾檔上，積的十位數(shù)則相應(yīng)加在其個(gè)位檔的左一檔上。當(dāng)用乘數(shù)的首位數(shù)去乘被乘數(shù)時(shí)，將被乘數(shù)本檔算珠改變?yōu)槠涑朔e的十位數(shù)。

　　特別需要說(shuō)明的是，運(yùn)算過(guò)程中，如果滿十不能進(jìn)位時(shí)，只能默記，乘完后再補(bǔ)進(jìn)。

　　4.乘積

　　當(dāng)用乘數(shù)乘完被乘數(shù)的首位數(shù)以后，反映在算盤(pán)上的數(shù)，即為乘積。

　　這種方法的優(yōu)點(diǎn)是被乘數(shù)、乘數(shù)不用默記，比較直觀，容易掌握。但留頭乘法對(duì)乘數(shù)的取數(shù)碼與讀數(shù)順序不一致，不能口念乘數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，所以速度較慢。

　　四、破頭乘法

　　破頭乘法是后乘法中的一種，有隔位破頭乘法和不隔位破頭乘法。不隔位破頭乘法是將被乘數(shù)、乘數(shù)分別量于算盤(pán)左、右兩端，然后從被乘數(shù)的末位數(shù)碼起，與乘數(shù)的首位數(shù)至末位數(shù)依次相乘，被乘數(shù)的末位數(shù)所在檔位因改撥為乘積的十位數(shù)而去掉。這種方法的要點(diǎn)是：

　　1.置數(shù)

　　采用固定個(gè)位法時(shí)，確定被乘數(shù)首位數(shù)應(yīng)撥入的檔位，依次布入被乘數(shù)，將乘數(shù)撥入算盤(pán)右邊適當(dāng)?shù)奈恢�。熟練之后，乘�?shù)可以默記，不用上盤(pán)。

　　2.運(yùn)算順序

　　破頭乘法的運(yùn)算順序與掉尾乘法相反。首先依次用乘數(shù)的首位數(shù)至末位數(shù)分別去乘被乘數(shù)的末位數(shù);接著依次用乘數(shù)的首位數(shù)至末位數(shù)分別去乘被乘數(shù)的倒數(shù)第二位數(shù);依此類推，直至依次用乘數(shù)的首位數(shù)至末位數(shù)分別去乘被乘數(shù)的首位數(shù)。

　　3.加積的檔位

　　每次運(yùn)算時(shí)，用乘數(shù)的第幾位數(shù)去乘被乘數(shù)，其積數(shù)的個(gè)位數(shù)就加在該被乘數(shù)本檔的右邊第幾檔上，積的十位數(shù)則相應(yīng)加在其個(gè)位檔的左一檔上。當(dāng)用乘數(shù)的首位數(shù)去乘被乘數(shù)時(shí)，將被乘數(shù)本檔算珠改變?yōu)槠涑朔e的十位數(shù)。

　　4.乘積

　　當(dāng)用乘數(shù)乘完被乘數(shù)的首位數(shù)以后，反映在算盤(pán)上的數(shù)，即為乘積。

　　需要注意的是，運(yùn)算過(guò)程中，被乘數(shù)本檔的數(shù)因相乘去掉，所以必須默記。

　　這種方法的優(yōu)點(diǎn)是按乘數(shù)的自然順序運(yùn)算，從左到右撥珠，符合讀數(shù)習(xí)慣，手撥乘積速度快。

　　五、連乘法

　　連乘法就是兩個(gè)以上的數(shù)連續(xù)相乘，求出積數(shù)的一種計(jì)算方法。它的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算順序均與兩個(gè)數(shù)的乘法相同。

　　運(yùn)算時(shí)，先將第一、第二兩個(gè)數(shù)相乘，求出它們的積，然后用此積數(shù)依次乘第三個(gè)數(shù)、第四個(gè)數(shù)，其他依此類推，直至求出積數(shù)。

第四節(jié) 乘法的其他簡(jiǎn)便乘法

　　一、靈活運(yùn)用乘法運(yùn)算律

　　乘法的運(yùn)算遵循交換律、結(jié)合律和分配律，在珠算乘法中靈活運(yùn)用乘法運(yùn)算律，可適當(dāng)減少運(yùn)算過(guò)程和撥珠次數(shù)。

　　二、倍數(shù)乘法

　　倍數(shù)乘法是指乘數(shù)是幾，就在算盤(pán)上連續(xù)加幾次被乘數(shù)的一種計(jì)算方法。倍數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)不用九九口訣，采用加一排數(shù)或減一排數(shù)的計(jì)算方法。它的優(yōu)點(diǎn)是將乘法變?yōu)榧訙p法運(yùn)算，省略了口訣，提高了計(jì)算速度。

　　(一)層加法

　　當(dāng)乘數(shù)是1、2、3時(shí)適用此法。即按照乘數(shù)，連續(xù)加幾次被乘數(shù)。

　　(二)折半法

　　當(dāng)乘數(shù)是4、5、6時(shí)適用此法。如果乘數(shù)是5，則為被乘數(shù)一半的10倍;乘數(shù)如果是4，就先按5計(jì)算，再減去一個(gè)被乘數(shù);乘數(shù)如果是6，就先按5計(jì)算，再加上一個(gè)被乘數(shù)。

　　(三)湊十法

　　當(dāng)乘數(shù)是7、8、9時(shí)適用此法。如果乘數(shù)是7、8、9時(shí)，均先按10計(jì)算，然后從乘積中按照10減去乘數(shù)的差，連續(xù)減去幾次被乘數(shù)。

　　三、補(bǔ)數(shù)乘法

　　補(bǔ)數(shù)乘法是指凡兩數(shù)相乘，其中有一個(gè)因數(shù)接近10的整數(shù)次冪時(shí)，可以把這個(gè)數(shù)先湊成10的乘方數(shù)或整數(shù)，利用齊數(shù)與補(bǔ)數(shù)的關(guān)系，用加、減和簡(jiǎn)單的乘代替繁乘。它的優(yōu)點(diǎn)是將乘法轉(zhuǎn)換為加減法和簡(jiǎn)單乘法，可以較快地計(jì)算出得數(shù)。

　　(一)補(bǔ)數(shù)加乘法

　　凡乘數(shù)(或被乘數(shù))接近10的整數(shù)次冪時(shí)，而被乘數(shù)(或乘數(shù))的各位數(shù)字均在5以上時(shí)，適合用補(bǔ)數(shù)加乘法。

　　(二)補(bǔ)數(shù)減乘法

　　凡乘數(shù)(或被乘數(shù))接近10的整數(shù)次冪時(shí)，而被乘數(shù)(或乘數(shù))的各位數(shù)字均在5以下時(shí)，適合用補(bǔ)數(shù)減乘法。

　　四、省乘法

　　(1)用空盤(pán)前乘法或破頭乘法計(jì)算。積數(shù)定位采用算前定位法。

　　(2)接照要求的精確度確定壓尾檔。要求保留m位小數(shù)的，應(yīng)計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后的第m+2位，壓尾檔則在小數(shù)點(diǎn)后的第m+3位。

　　(3)用破頭乘法置被乘數(shù)時(shí)，撥到壓尾檔前一檔為止。

　　(4)邊乘邊加積數(shù)，直至壓尾檔前一檔為止。凡落在壓尾檔及后面各檔的積數(shù)，一律放棄。

　　(5)乘完后，對(duì)多算的積數(shù)尾數(shù)四舍五入。

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